Математический анализ Примеры

$y \cos (x) = 4 x^{2} + 5 y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 5 y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 5 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$8 x + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 x + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$8 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$8 x + 5 (2 y y')$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $5$ .

$8 x + 10 y y'$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$10 y y' + 8 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 10 y y' + 8 x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ .

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 10 y y' + 8 x$

Этап 5.2

Вычтем $10 y y'$ из обеих частей уравнения.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 10 y y' = 8 x$

Этап 5.3

Добавим $y \sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$y' \cos (x) - 10 y y' = 8 x + y \sin (x)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cos (x) - 10 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x)) - 10 y y' = 8 x + y \sin (x)$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 10 y y'$ .

$y' (\cos (x)) + y' (- 10 y) = 8 x + y \sin (x)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (\cos (x)) + y' (- 10 y)$ .

$y' (\cos (x) - 10 y) = 8 x + y \sin (x)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (\cos (x) - 10 y) = 8 x + y \sin (x)$ на $\cos (x) - 10 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (\cos (x) - 10 y) = 8 x + y \sin (x)$ на $\cos (x) - 10 y$ .

$\frac{y' (\cos (x) - 10 y)}{\cos (x) - 10 y} = \frac{8 x}{\cos (x) - 10 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x) - 10 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (\cos (x) - 10 y)}{\cos (x) - 10 y} = \frac{8 x}{\cos (x) - 10 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{8 x}{\cos (x) - 10 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{8 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 10 y}$