Математический анализ Примеры

$y \sqrt{x + 1} = 4$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.3

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $y$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.11.2

Умножим $\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.12

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

Этап 3.13

Изменим порядок членов.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$ и $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3.2

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2 {(x + 1)}^{1} y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3.3

Упростим $2 {(x + 1)}^{1} y'$ .

$\frac{2 (x + 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 2) y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.1.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x y' + 2 y' + y}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x y' + 2 y' + y = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$2 x y' + 2 y' = - y$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y' + 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 x y'$ .

$2 y' x + 2 y' = - y$

Этап 6.3.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y'$ .

$2 y' x + 2 y' \cdot 1 = - y$

Этап 6.3.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' x + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (x + 1) = - y$

Этап 6.3.3

Разделим каждый член $2 y' (x + 1) = - y$ на $2 (x + 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $2 y' (x + 1) = - y$ на $2 (x + 1)$ .

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (x + 1)}{2 (x + 1)} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Этап 6.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Этап 6.3.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y}{2 (x + 1)}$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{2 (x + 1)}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 (x + 1)}$