Математический анализ Примеры

$\sin (x + y) = y^{2} \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} \cos (x))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Перенесем $2$ влево от $\cos (x)$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x) y \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y^{2} (- \sin (x)) + 2 \cos (x) y y'$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Этап 5.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\cos (x + y) (1 + y') = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Этап 5.1.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Умножим $\cos (x + y)$ на $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Этап 5.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в $- y^{2} \sin (x) + 2 y \cos (x) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = - y^{2} \sin (x) + 2 y y' \cos (x)$

Этап 5.3

Вычтем $2 y y' \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x)$

Этап 5.4

Вычтем $\cos (x + y)$ из обеих частей уравнения.

$y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Этап 5.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cos (x + y) - 2 y y' \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) - 2 y y' \cos (x) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (\cos (x + y)) + y' (- 2 y \cos (x))$ .

$y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ на $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x)) = - y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)$ на $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x + y) - 2 y \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (\cos (x + y) - 2 y \cos (x))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y^{2} \sin (x) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2} \sin (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (x + y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} \sin (x)) - (\cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.5.1

Перепишем $- (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ в виде $- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} \sin (x) + \cos (x + y))}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 5.6.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} \sin (x) + \cos (x + y)}{\cos (x + y) - 2 y \cos (x)}$