Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{x}}{4 + x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{4 + x}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4}}{4 + x}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{4 x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{4}{4}}{4 + x}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{4 x} + \frac{4}{x \cdot 4}}{4 + x}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 4$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x}{4 x} + \frac{4}{4 x}}{4 + x}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{x + 4}{4 x}}{4 + x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 4} \frac{x + 4}{4 x} \cdot \frac{1}{4 + x}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{x + 4}{4 x}$ на $\frac{1}{4 + x}$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{x + 4}{4 x (4 + x)}$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $x + 4$ и $4 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to - 4} \frac{x + 4}{4 x (x + 4)}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 4} \frac{x + 4}{4 x (x + 4)}$

Этап 2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 4} \frac{1}{4 x}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - 4} \frac{1}{x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - 4} 1}{lim_{x \to - 4} x}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 4} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 4$ для $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 4}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{4})$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{4} (- \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 4.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- \frac{1}{16}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{16}$

Десятичная форма:

$- 0.0625$