Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{2} - 2 x = 3$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2$

Этап 3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y y' - 2 = - 2 y^{2} x$

Этап 5.1.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$

Этап 5.2

Разделим каждый член $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ на $2 x^{2} y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ на $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Этап 5.2.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$