Математический анализ Примеры

$\arctan (\cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\frac{1}{1 + \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 + \cos^{2} (x)} (- \sin (x))$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{1 + \cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$