Математический анализ Примеры

$y = 2^{3^{x^{2}}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 2^{x}$ и $g (x) = 3^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$2^{u_{1}} \ln (2) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3^{x^{2}}$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (\frac{d}{d u_{2}} [3^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $3$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{u_{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (2 x))$

Этап 4

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $2^{1 + 3^{x^{2}}} \ln (2) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$ .

$2^{1 + 3^{x^{2}}} \cdot 3^{x^{2}} x \ln (2) \ln (3)$

Этап 6.2

Изменим порядок множителей в $2^{1 + 3^{x^{2}}} \cdot 3^{x^{2}} x \ln (2) \ln (3)$ .

$x \cdot 2^{1 + 3^{x^{2}}} \cdot 3^{x^{2}} \ln (2) \ln (3)$