Математический анализ Примеры

$y = \ln (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}$ .

$1 \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Этап 3

Умножим $\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ на $1$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 + e^{x}$ и $g (x) = 1 - e^{x}$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $1 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 5.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

По правилу суммы производная $1 - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 7.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 7.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 7.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} - (1 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 7.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 7.5.2

Умножим $1 + e^{x}$ на $1$ .

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 8

$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 9

Умножим $\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}$ на $\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}}$

Этап 10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $1 - e^{x}$ из $(1 + e^{x}) {(1 - e^{x})}^{2}$ .

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 - e^{x}) ((1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x})}{(1 - e^{x}) ((1 + e^{x}) (1 - e^{x}))}$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + (1 + e^{x}) e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Этап 11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим противоположные члены в $1 e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{x} + e^{x} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Добавим $- e^{x} e^{x}$ и $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x} + 0}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Этап 11.3.1.2

Добавим $1 e^{x} + 1 e^{x}$ и $0$ .

$\frac{1 e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Этап 11.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} + 1 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Этап 11.3.2.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} + e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Этап 11.3.3

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$