Математический анализ Примеры

$x^{2} {(x - 2)}^{4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x - 2)}^{4}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{4}] + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3} \cdot 1) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.2

Умножим $4$ на $1$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{4} (2 x)$

Этап 3.6

Перенесем $2$ влево от ${(x - 2)}^{4}$ .

$x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot {(x - 2)}^{4} x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ из $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3}) + 2 {(x - 2)}^{4} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ из $x^{2} (4 {(x - 2)}^{3})$ .

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + 2 {(x - 2)}^{4} x$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ из $2 {(x - 2)}^{4} x$ .

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3}$ из $x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2)) + x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x - 2)$ .

$x \cdot 2 {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \cdot x {(x - 2)}^{3} (x \cdot (2) + x - 2)$

Этап 4.2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 x {(x - 2)}^{3} (2 \cdot x + x - 2)$

Этап 4.2.3

Добавим $2 x$ и $x$ .

$2 x {(x - 2)}^{3} (3 x - 2)$