Математический анализ Примеры

$y = x \sqrt{4 - x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - x}$ в виде ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.3

Перенесем ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14.2

Объединим $\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 16

Умножим ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 17

Чтобы записать ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Объединим ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Умножим ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Перенесем ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- x + {(4 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Упростим ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Перенесем $2$ влево от $4 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$\frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.4

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.6

Перепишем $- (3 x - 8)$ в виде $- 1 (3 x - 8)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$