Математический анализ Примеры

$\sin^{2} (e^{\sin^{2} (t)})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = \sin (e^{\sin^{2} (t)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (e^{\sin^{2} (t)})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (e^{\sin^{2} (t)})$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e^{\sin^{2} (t)}$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{\sin^{2} (t)}$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\cos (e^{\sin^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\sin^{2} (t)$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\sin^{2} (t)$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (e^{\sin^{2} (t)} \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $\sin (t)$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{4}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (2 u_{4} \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $\sin (t)$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (2 \sin (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Этап 6

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} \sin (t) \cos (t)$

Этап 7

Изменим порядок множителей в $4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} \sin (t) \cos (t)$ .

$4 e^{\sin^{2} (t)} \cos (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (t) \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \sin (t)$