Математический анализ Примеры

$\ln^{5} (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$5 \ln^{4} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$5 \ln^{4} (x) \frac{1}{x}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $5$ .

$\frac{5}{x} \ln^{4} (x)$

Этап 3.2

Объединим $\frac{5}{x}$ и $\ln^{4} (x)$ .

$\frac{5 \ln^{4} (x)}{x}$