Математический анализ Примеры

$y = 3 x (6 x - 5 x^{2})$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x (6 x - 5 x^{2})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 6 x - 5 x^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [6 x - 5 x^{2}] + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x - 5 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$3 (x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x (6 - 5 (2 x)) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $- 5$ .

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \cdot 1)$

Этап 3.9

Умножим $6 x - 5 x^{2}$ на $1$ .

$3 (x (6 - 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x \cdot 6 + x (- 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x \cdot 6) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$3 (6 \cdot x) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3.2

Умножим $6$ на $3$ .

$18 x + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$18 x + 3 (- 10 x^{1 + 1}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$18 x + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3.7

Умножим $- 10$ на $3$ .

$18 x - 30 x^{2} + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3.8

Умножим $6$ на $3$ .

$18 x - 30 x^{2} + 18 x + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3.9

Добавим $18 x$ и $18 x$ .

$- 30 x^{2} + 36 x + 3 (- 5 x^{2})$

Этап 4.3.10

Умножим $- 5$ на $3$ .

$- 30 x^{2} + 36 x - 15 x^{2}$

Этап 4.3.11

Вычтем $15 x^{2}$ из $- 30 x^{2}$ .

$- 45 x^{2} + 36 x$