Математический анализ Примеры

$e^{7 x^{2} + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x^{2} + 3$ .

$e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $7$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)$

Этап 2.6

Добавим $14 x$ и $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$ .

$14 e^{7 x^{2} + 3} x$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $14 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$14 x e^{7 x^{2} + 3}$