Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ в виде ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = \frac{8}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{8}{x}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Этап 8

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 9.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{8}{3}$ и $x^{- 2}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

Этап 11.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Этап 12.2

Применим правило умножения к $\frac{x}{8}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Этап 12.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Этап 12.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Этап 12.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Этап 12.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Этап 12.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Этап 12.3.5

Умножим $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ на $\frac{8}{3 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

Этап 12.3.6

Умножим $3$ на $4$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

Этап 12.3.7

Перенесем $8$ влево от $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

Этап 12.3.8

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 12.3.9

Умножим $x^{2}$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.9.1

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

Этап 12.3.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Этап 12.3.9.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Этап 12.3.9.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Этап 12.3.9.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Этап 12.3.9.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.9.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Этап 12.3.9.6.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 12.3.10

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 12.3.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.11.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Этап 12.3.11.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Этап 12.3.11.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$