Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} - 1) = 3$

Этап 1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} - 1)} = e^{3}$

Этап 2

Перепишем $\ln (x^{2} - 1) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} - 1$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 1 = e^{3}$ .

$x^{2} - 1 = e^{3}$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = e^{3} + 1$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{e^{3} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x = \pm \sqrt{e^{3} + 1^{3}}$

Этап 3.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = e$ и $b = 1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1^{2})}$

Этап 3.4.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}, - \sqrt{(e + 1) (e^{2} - e + 1)}$

Десятичная форма:

$x = 4.59189905 \dots, - 4.59189905 \dots$