Математический анализ Примеры

$\ln (\tan (x))$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \ln (\tan (x))$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \ln (\tan (x))$ .

$\tan (x) = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{π}{2})$ .

$x = - 1.00388482$

Этап 1.2.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 1.00388482 - (3.14159265)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $2 π$ к $- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.00388482 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 1.2.4.2

Результирующий угол $2.13770783$ является положительным и отличается от $- 1.00388482 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 2.13770783$

Этап 1.2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.2.6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $π$ к $- 1.00388482$ , чтобы найти положительный угол.

$- 1.00388482 + π$

Этап 1.2.6.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 1.00388482$

Этап 1.2.6.3

Вычтем $1.00388482$ из $3.14159265$ .

$2.13770783$

Этап 1.2.6.4

Перечислим новые углы.

$x = 2.13770783$

Этап 1.2.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.13770783 + π n, 2.13770783 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Объединим $2.13770783 + π n$ и $2.13770783 + π n$ в $2.13770783 + π n$ .

$x = 2.13770783 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $\tan (x)$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$\tan (x) = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{π}{2})$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Найдем значение $\arctan (\frac{π}{2})$ .

$x = 1.00388482$

Этап 1.4.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Этап 1.4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.00388482$

Этап 1.4.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Этап 1.4.4.3

Добавим $3.14159265$ и $1.00388482$ .

$x = 4.14547747$

Этап 1.4.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.4.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.4.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.4.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.4.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.00388482 + π n, 4.14547747 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.4.7

Объединим $1.00388482 + π n$ и $4.14547747 + π n$ в $1.00388482 + π n$ .

$x = 1.00388482 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.5

Основной период $y = \ln (\tan (x))$ находится на промежутке $(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$ , где $2.13770783 + π n$ и $1.00388482 + π n$ являются вертикальными асимптотами.

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 1.6.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \ln (\tan (x))$ расположены в $2.13770783 + π n$ , $1.00388482 + π n$ и в каждой точке $π n$ , где $n$ — целое число.

$π n$

Этап 1.8

У функций тангенса и котангенса есть только вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x = 2.13770783 + π n + π n$ для всех целых $n$

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 2.13770783 + π n + π n$ для всех целых $n$

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln (\tan (1))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем значение $\tan (1)$ .

$f (1) = \ln (1.55740772)$

Этап 2.2.2

Окончательный ответ: $\ln (1.55740772)$ .

$\ln (1.55740772)$

Этап 3

Найдем точку в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \ln (\tan (4))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем значение $\tan (4)$ .

$f (4) = \ln (1.15782128)$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\ln (1.15782128)$ .

$\ln (1.15782128)$

Этап 4

Найдем точку в $x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = \ln (\tan (7))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\tan (7)$ .

$f (7) = \ln (0.87144798)$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\ln (0.87144798)$ .

$\ln (0.87144798)$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ и точек $(1, 0.44302272), (4, 0.14654003), (7, - 0.1375991)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.443 \\ 4 & 0.147 \\ 7 & - 0.138 \end{array}$

Этап 6