Математический анализ Примеры

ln (tan (x))

$\ln (\tan (x))$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции

y = tan (x)

$y = \tan (x)$ находятся в точках

x = \frac{π}{2} + n π

$x = \frac{π}{2} + n π$ , где

n

$n$ — целое число. Используя основной период

(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

$(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для

y = tan (x)

$y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для

y = ln (tan (x))

$y = \ln (\tan (x))$ . Положив аргумент тангенса,

b x + c

$b x + c$ , равным

- \frac{π}{2}

$- \frac{π}{2}$ в выражении

y = a tan (b x + c) + d

$y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для

y = ln (tan (x))

$y = \ln (\tan (x))$ .

tan (x) = - \frac{π}{2}

$\tan (x) = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из тангенса.

x = arctan (- \frac{π}{2})

$x = \arctan (- \frac{π}{2})$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Найдем значение

arctan (- \frac{π}{2})

$\arctan (- \frac{π}{2})$ .

x = - 1.00388482

$x = - 1.00388482$

x = - 1.00388482

$x = - 1.00388482$

Этап 1.2.3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

π

$π$ и найдем решение в третьем квадранте.

x = - 1.00388482 - (3.14159265)

$x = - 1.00388482 - (3.14159265)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим

2 π

$2 π$ к

- 1.00388482 - (3.14159265)

$- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

x = - 1.00388482 - (3.14159265) + 2 π

$x = - 1.00388482 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 1.2.4.2

Результирующий угол

2.13770783

$2.13770783$ является положительным и отличается от

- 1.00388482 - (3.14159265)

$- 1.00388482 - (3.14159265)$ на полный оборот.

x = 2.13770783

$x = 2.13770783$

x = 2.13770783

$x = 2.13770783$

Этап 1.2.5

Найдем период

tan (x)

$\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{π}{| 1 |}

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{π}{1}

$\frac{π}{1}$

Этап 1.2.5.4

Разделим

π

$π$ на

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Этап 1.2.6

Добавим

π

$π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим

π

$π$ к

- 1.00388482

$- 1.00388482$ , чтобы найти положительный угол.

- 1.00388482 + π

$- 1.00388482 + π$

Этап 1.2.6.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

3.14159265 - 1.00388482

$3.14159265 - 1.00388482$

Этап 1.2.6.3

Вычтем

1.00388482

$1.00388482$ из

3.14159265

$3.14159265$ .

2.13770783

$2.13770783$

Этап 1.2.6.4

Перечислим новые углы.

x = 2.13770783

$x = 2.13770783$

x = 2.13770783

$x = 2.13770783$

Этап 1.2.7

Период функции

tan (x)

$\tan (x)$ равен

π

$π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

π

$π$ рад. в обоих направлениях.

x = 2.13770783 + π n, 2.13770783 + π n

$x = 2.13770783 + π n, 2.13770783 + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 1.2.8

Объединим

2.13770783 + π n

$2.13770783 + π n$ и

2.13770783 + π n

$2.13770783 + π n$ в

2.13770783 + π n

$2.13770783 + π n$ .

x = 2.13770783 + π n

$x = 2.13770783 + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = 2.13770783 + π n

$x = 2.13770783 + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 1.3

Приравняем аргумент

tan (x)

$\tan (x)$ функции тангенса к

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

tan (x) = \frac{π}{2}

$\tan (x) = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь

x

$x$ из тангенса.

x = arctan (\frac{π}{2})

$x = \arctan (\frac{π}{2})$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Найдем значение

arctan (\frac{π}{2})

$\arctan (\frac{π}{2})$ .

x = 1.00388482

$x = 1.00388482$

x = 1.00388482

$x = 1.00388482$

Этап 1.4.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из

π

$π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

x = (3.14159265) + 1.00388482

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Этап 1.4.4

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Избавимся от скобок.

x = 3.14159265 + 1.00388482

$x = 3.14159265 + 1.00388482$

Этап 1.4.4.2

Избавимся от скобок.

x = (3.14159265) + 1.00388482

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Этап 1.4.4.3

Добавим

3.14159265

$3.14159265$ и

1.00388482

$1.00388482$ .

x = 4.14547747

$x = 4.14547747$

x = 4.14547747

$x = 4.14547747$

Этап 1.4.5

Найдем период

tan (x)

$\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.4.5.2

Заменим

b

$b$ на

1

$1$ в формуле периода.

\frac{π}{| 1 |}

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 1.4.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{π}{1}

$\frac{π}{1}$

Этап 1.4.5.4

Разделим

π

$π$ на

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Этап 1.4.6

Период функции

tan (x)

$\tan (x)$ равен

π

$π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

π

$π$ рад. в обоих направлениях.

x = 1.00388482 + π n, 4.14547747 + π n

$x = 1.00388482 + π n, 4.14547747 + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 1.4.7

Объединим

1.00388482 + π n

$1.00388482 + π n$ и

4.14547747 + π n

$4.14547747 + π n$ в

1.00388482 + π n

$1.00388482 + π n$ .

x = 1.00388482 + π n

$x = 1.00388482 + π n$ , для любого целого

n

$n$

x = 1.00388482 + π n

$x = 1.00388482 + π n$ , для любого целого

n

$n$

Этап 1.5

Основной период

y = ln (tan (x))

$y = \ln (\tan (x))$ находится на промежутке

(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$ , где

2.13770783 + π n

$2.13770783 + π n$ и

1.00388482 + π n

$1.00388482 + π n$ являются вертикальными асимптотами.

(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$

Этап 1.6

Найдем период

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\frac{π}{1}

$\frac{π}{1}$

Этап 1.6.2

Разделим

π

$π$ на

1

$1$ .

π

$π$

π

$π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты

y = ln (tan (x))

$y = \ln (\tan (x))$ расположены в

2.13770783 + π n

$2.13770783 + π n$ ,

1.00388482 + π n

$1.00388482 + π n$ и в каждой точке

π n

$π n$ , где

n

$n$ — целое число.

π n

$π n$

Этап 1.8

У функций тангенса и котангенса есть только вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты:

x = 2.13770783 + π n + π n

$x = 2.13770783 + π n + π n$ для всех целых

n

$n$

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты:

x = 2.13770783 + π n + π n

$x = 2.13770783 + π n + π n$ для всех целых

n

$n$

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Этап 2

Найдем точку в

x = 1

$x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

1

$1$ .

f (1) = ln (tan (1))

$f (1) = \ln (\tan (1))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем значение

tan (1)

$\tan (1)$ .

f (1) = ln (1.55740772)

$f (1) = \ln (1.55740772)$

Этап 2.2.2

Окончательный ответ:

ln (1.55740772)

$\ln (1.55740772)$ .

ln (1.55740772)

$\ln (1.55740772)$

Этап 3

Найдем точку в

$x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$4$ .

$f (4) = \ln (\tan (4))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем значение

$\tan (4)$ .

$f (4) = \ln (1.15782128)$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ:

$\ln (1.15782128)$ .

$\ln (1.15782128)$

Этап 4

Найдем точку в

$x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$7$ .

$f (7) = \ln (\tan (7))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение

$\tan (7)$ .

$f (7) = \ln (0.87144798)$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ:

$\ln (0.87144798)$ .

$\ln (0.87144798)$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке

$x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ и точек

$(1, 0.44302272), (4, 0.14654003), (7, - 0.1375991)$ .

Вертикальная асимптота:

$x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.443 \\ 4 & 0.147 \\ 7 & - 0.138 \end{array}$

Этап 6