Математический анализ Примеры

График натуральный логарифм tan(x)
ln(tan(x))
Этап 1
Найдем асимптоты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Вертикальные асимптоты функции y=tan(x) находятся в точках x=π2+nπ, где n — целое число. Используя основной период (π2,π2) для y=tan(x), найдем вертикальные асимптоты для y=ln(tan(x)). Положив аргумент тангенса, bx+c, равным π2 в выражении y=atan(bx+c)+d, найдем положение вертикальной асимптоты для y=ln(tan(x)).
tan(x)=π2
Этап 1.2
Решим относительно x.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь x из тангенса.
x=arctan(π2)
Этап 1.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.1
Найдем значение arctan(π2).
x=1.00388482
x=1.00388482
Этап 1.2.3
Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из π и найдем решение в третьем квадранте.
x=1.00388482(3.14159265)
Этап 1.2.4
Упростим выражение, чтобы найти второе решение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1
Добавим 2π к 1.00388482(3.14159265).
x=1.00388482(3.14159265)+2π
Этап 1.2.4.2
Результирующий угол 2.13770783 является положительным и отличается от 1.00388482(3.14159265) на полный оборот.
x=2.13770783
x=2.13770783
Этап 1.2.5
Найдем период tan(x).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.1
Период функции можно вычислить по формуле π|b|.
π|b|
Этап 1.2.5.2
Заменим b на 1 в формуле периода.
π|1|
Этап 1.2.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между 0 и 1 равно 1.
π1
Этап 1.2.5.4
Разделим π на 1.
π
π
Этап 1.2.6
Добавим π к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.1
Добавим π к 1.00388482, чтобы найти положительный угол.
1.00388482+π
Этап 1.2.6.2
Заменим на десятичную аппроксимацию.
3.141592651.00388482
Этап 1.2.6.3
Вычтем 1.00388482 из 3.14159265.
2.13770783
Этап 1.2.6.4
Перечислим новые углы.
x=2.13770783
x=2.13770783
Этап 1.2.7
Период функции tan(x) равен π. Поэтому значения повторяются через каждые π рад. в обоих направлениях.
x=2.13770783+πn,2.13770783+πn, для любого целого n
Этап 1.2.8
Объединим 2.13770783+πn и 2.13770783+πn в 2.13770783+πn.
x=2.13770783+πn, для любого целого n
x=2.13770783+πn, для любого целого n
Этап 1.3
Приравняем аргумент tan(x) функции тангенса к π2.
tan(x)=π2
Этап 1.4
Решим относительно x.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь x из тангенса.
x=arctan(π2)
Этап 1.4.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.1
Найдем значение arctan(π2).
x=1.00388482
x=1.00388482
Этап 1.4.3
Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из π и найдем решение в четвертом квадранте.
x=(3.14159265)+1.00388482
Этап 1.4.4
Решим относительно x.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.4.1
Избавимся от скобок.
x=3.14159265+1.00388482
Этап 1.4.4.2
Избавимся от скобок.
x=(3.14159265)+1.00388482
Этап 1.4.4.3
Добавим 3.14159265 и 1.00388482.
x=4.14547747
x=4.14547747
Этап 1.4.5
Найдем период tan(x).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.5.1
Период функции можно вычислить по формуле π|b|.
π|b|
Этап 1.4.5.2
Заменим b на 1 в формуле периода.
π|1|
Этап 1.4.5.3
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между 0 и 1 равно 1.
π1
Этап 1.4.5.4
Разделим π на 1.
π
π
Этап 1.4.6
Период функции tan(x) равен π. Поэтому значения повторяются через каждые π рад. в обоих направлениях.
x=1.00388482+πn,4.14547747+πn, для любого целого n
Этап 1.4.7
Объединим 1.00388482+πn и 4.14547747+πn в 1.00388482+πn.
x=1.00388482+πn, для любого целого n
x=1.00388482+πn, для любого целого n
Этап 1.5
Основной период y=ln(tan(x)) находится на промежутке (2.13770783+πn,1.00388482+πn), где 2.13770783+πn и 1.00388482+πn являются вертикальными асимптотами.
(2.13770783+πn,1.00388482+πn)
Этап 1.6
Найдем период π|b|, чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.1
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между 0 и 1 равно 1.
π1
Этап 1.6.2
Разделим π на 1.
π
π
Этап 1.7
Вертикальные асимптоты y=ln(tan(x)) расположены в 2.13770783+πn, 1.00388482+πn и в каждой точке πn, где n — целое число.
πn
Этап 1.8
У функций тангенса и котангенса есть только вертикальные асимптоты.
Вертикальные асимптоты: x=2.13770783+πn+πn для всех целых n
Нет горизонтальных асимптот
Нет наклонных асимптот
Вертикальные асимптоты: x=2.13770783+πn+πn для всех целых n
Нет горизонтальных асимптот
Нет наклонных асимптот
Этап 2
Найдем точку в x=1.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Заменим в этом выражении переменную x на 1.
f(1)=ln(tan(1))
Этап 2.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Найдем значение tan(1).
f(1)=ln(1.55740772)
Этап 2.2.2
Окончательный ответ: ln(1.55740772).
ln(1.55740772)
ln(1.55740772)
ln(1.55740772)
Этап 3
Найдем точку в x=4.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Заменим в этом выражении переменную x на 4.
f(4)=ln(tan(4))
Этап 3.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.2.1
Найдем значение tan(4).
f(4)=ln(1.15782128)
Этап 3.2.2
Окончательный ответ: ln(1.15782128).
ln(1.15782128)
ln(1.15782128)
ln(1.15782128)
Этап 4
Найдем точку в x=7.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Заменим в этом выражении переменную x на 7.
f(7)=ln(tan(7))
Этап 4.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Найдем значение tan(7).
f(7)=ln(0.87144798)
Этап 4.2.2
Окончательный ответ: ln(0.87144798).
ln(0.87144798)
ln(0.87144798)
ln(0.87144798)
Этап 5
График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке x=2.13770783+πn+πn(for)(any)(integer)n и точек (1,0.44302272),(4,0.14654003),(7,0.1375991).
Вертикальная асимптота: x=2.13770783+πn+πn(for)(any)(integer)n
xy10.44340.14770.138
Этап 6
 x2  12  π  xdx