Математический анализ Примеры

Найти площадь между кривыми y=1/2x^2 , y=-x^2+6
,
Этап 1
Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Исключим равные части каждого уравнения и объединим.
Этап 1.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1.1
Перепишем.
Этап 1.2.1.2
Упростим путем добавления нулей.
Этап 1.2.1.3
Объединим и .
Этап 1.2.2
Перенесем все члены с в левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 1.2.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.2.2.3
Объединим и .
Этап 1.2.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.2.2.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.2.5.1
Перенесем влево от .
Этап 1.2.2.5.2
Добавим и .
Этап 1.2.3
Умножим обе части уравнения на .
Этап 1.2.4
Упростим обе части уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1.1.1
Объединим.
Этап 1.2.4.1.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.4.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.4.1.1.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.1.1.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.4.1.1.3.2
Разделим на .
Этап 1.2.4.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.2.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.4.2.1.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.4.2.1.1.2
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.4.2.1.1.3
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.4.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.2.5
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 1.2.6
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.1
Перепишем в виде .
Этап 1.2.6.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 1.2.7
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.7.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 1.2.7.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 1.2.7.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 1.3
Вычислим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Подставим вместо .
Этап 1.3.2
Подставим вместо в и решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.3.2.2
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 1.3.2.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.3.2.2.2
Добавим и .
Этап 1.4
Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.
Этап 2
Объединим и .
Этап 3
Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.
Этап 4
Проинтегрируем, чтобы найти площадь между и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Объединим интегралы в один интеграл.
Этап 4.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.3
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Объединим и .
Этап 4.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.4
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.4.1.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.4.1.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.4.1.2
Умножим на .
Этап 4.4.1.3
Вычтем из .
Этап 4.4.2
Перенесем влево от .
Этап 4.4.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.5
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 4.6
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4.7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4.8
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 4.9
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 4.10
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.10.1
Найдем значение в и в .
Этап 4.10.2
Найдем значение в и в .
Этап 4.10.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.10.3.1
Возведем в степень .
Этап 4.10.3.2
Объединим и .
Этап 4.10.3.3
Возведем в степень .
Этап 4.10.3.4
Умножим на .
Этап 4.10.3.5
Объединим и .
Этап 4.10.3.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.10.3.7
Добавим и .
Этап 4.10.3.8
Умножим на .
Этап 4.10.3.9
Умножим на .
Этап 4.10.3.10
Умножим на .
Этап 4.10.3.11
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.10.3.11.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.10.3.11.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.10.3.11.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.10.3.11.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.10.3.11.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.10.3.11.2.4
Разделим на .
Этап 4.10.3.12
Умножим на .
Этап 4.10.3.13
Умножим на .
Этап 4.10.3.14
Умножим на .
Этап 4.10.3.15
Добавим и .
Этап 4.10.3.16
Добавим и .
Этап 5