Математический анализ Примеры

$y = x + 12$ , $y = x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x + 12 = x^{2}$

Этап 1.2

Решим $x + 12 = x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x + 12 - x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x + 12 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Перенесем $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

Этап 1.2.2.1.1.2

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Этап 1.2.2.1.4

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 1.2.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 1.2.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Этап 1.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разложим $x^{2} - x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3 + y = x^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x^{2}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 4, - 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = {(4)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $4$ вместо $x$ в $y = {(4)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 4^{2}$

Этап 1.3.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = 16$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$y = {(- 3)}^{2}$

Этап 1.4.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = 9$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 16)$

$(- 3, 9)$

$(4, 16)$

$(- 3, 9)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 3}^{4} x + 12 d x - \int_{- 3}^{4} x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 3$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 3}^{4} x + 12 - (x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $x^{2}$ .

$\int_{- 3}^{4} x + 12 - x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{4} x d x + \int_{- 3}^{4} 12 d x + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} 12 d x + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} - \int_{- 3}^{4} x^{2} d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{4})$

Этап 3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4}$ и $12 x]_{- 3}^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{4})$

Этап 3.8.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Этап 3.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + 12 x$ в $4$ и в $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Этап 3.8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $4$ и в $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $16$ .

$\frac{16}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.3

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.3.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$8 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.4

Умножим $12$ на $4$ .

$8 + 48 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.5

Добавим $8$ и $48$ .

$56 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.6

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$56 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$56 - (\frac{9}{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.8

Умножим $12$ на $- 3$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.9

Чтобы записать $- 36$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.10

Объединим $- 36$ и $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$56 - \frac{9 - 36 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.12.1

Умножим $- 36$ на $2$ .

$56 - \frac{9 - 72}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.12.2

Вычтем $72$ из $9$ .

$56 - \frac{- 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$56 - - \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$56 + 1 (\frac{63}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.15

Умножим $\frac{63}{2}$ на $1$ .

$56 + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.16

Чтобы записать $56$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$56 \cdot \frac{2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.17

Объединим $56$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{56 \cdot 2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{56 \cdot 2 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.19.1

Умножим $56$ на $2$ .

$\frac{112 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.19.2

Добавим $112$ и $63$ .

$\frac{175}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.20

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.21

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 27}{3})$

Этап 3.8.2.3.22

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.22.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Этап 3.8.2.3.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.22.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Этап 3.8.2.3.22.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Этап 3.8.2.3.22.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 9}{1})$

Этап 3.8.2.3.22.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - - 9)$

Этап 3.8.2.3.23

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9)$

Этап 3.8.2.3.24

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 3.8.2.3.25

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Этап 3.8.2.3.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 9 \cdot 3}{3}$

Этап 3.8.2.3.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.27.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 27}{3}$

Этап 3.8.2.3.27.2

Добавим $64$ и $27$ .

$\frac{175}{2} - \frac{91}{3}$

Этап 3.8.2.3.28

Чтобы записать $\frac{175}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3}$

Этап 3.8.2.3.29

Чтобы записать $- \frac{91}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.8.2.3.30

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.30.1

Умножим $\frac{175}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.8.2.3.30.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.8.2.3.30.3

Умножим $\frac{91}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 3.8.2.3.30.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{6}$

Этап 3.8.2.3.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{175 \cdot 3 - 91 \cdot 2}{6}$

Этап 3.8.2.3.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.32.1

Умножим $175$ на $3$ .

$\frac{525 - 91 \cdot 2}{6}$

Этап 3.8.2.3.32.2

Умножим $- 91$ на $2$ .

$\frac{525 - 182}{6}$

Этап 3.8.2.3.32.3

Вычтем $182$ из $525$ .

$\frac{343}{6}$

Этап 4