Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{x - 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{x - 1}$

Этап 1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{x - 1}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{x - 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{1 - x}{x}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x (x - 1)}$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $1 - x$ и $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1) - x}{x (x - 1)}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1) - (x)}{x (x - 1)}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1) - (x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1 + x)}{x (x - 1)}$

Этап 2.1.3.4

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (x - 1)}{x (x - 1)}$

Этап 2.1.3.5

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (x - 1)}{x (x - 1)}$

Этап 2.1.3.6

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 2.3

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$