Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x^{2} - x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - x}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - x}$

Этап 1.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x^{2} - lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{2} - lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0^{2} + 0}$

Этап 1.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0 + 0}$

Этап 1.1.3.5.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Этап 1.1.3.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x^{2} - x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]}$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $2 x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 x + \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 1.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 x - \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{4 x - 1}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 x - 1}$

Этап 2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 x - 1}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0)}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Этап 4.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Этап 4.3

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$