Математический анализ Примеры

Оценить предел предел (1+x)^(8/x), если x стремится к 0
Этап 1
Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Перепишем в виде .
Этап 1.2
Развернем , вынося из логарифма.
Этап 2
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Внесем предел под знак экспоненты.
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 2.3
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 3
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 3.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1.1
Внесем предел под знак логарифма.
Этап 3.1.2.1.2
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 3.1.2.1.3
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 3.1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.1.2.3
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.3.1
Добавим и .
Этап 3.1.2.3.2
Натуральный логарифм равен .
Этап 3.1.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 3.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 3.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 3.3.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.3.2.2
Производная по равна .
Этап 3.3.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.3.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.3.5
Добавим и .
Этап 3.3.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.7
Умножим на .
Этап 3.3.8
Изменим порядок членов.
Этап 3.3.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.4
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 3.5
Умножим на .
Этап 4
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 4.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 4.3
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 4.4
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 5
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Добавим и .
Этап 6.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.3
Умножим на .
Этап 7
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: