Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.2.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 1.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3
Продифференцируем.
Этап 1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3
Умножим на .
Этап 1.4
Возведем в степень .
Этап 1.5
Возведем в степень .
Этап 1.6
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.7
Упростим выражение.
Этап 1.7.1
Добавим и .
Этап 1.7.2
Перенесем влево от .
Этап 1.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.9
Умножим на .
Этап 1.10
Упростим.
Этап 1.10.1
Изменим порядок членов.
Этап 1.10.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 2
Этап 2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2
Найдем значение .
Этап 2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.2.3.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 2.2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.2.4
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.5
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.7
Умножим на .
Этап 2.2.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.2.8.1
Перенесем .
Этап 2.2.8.2
Умножим на .
Этап 2.2.8.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.2.8.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.8.3
Добавим и .
Этап 2.2.9
Перенесем влево от .
Этап 2.3
Найдем значение .
Этап 2.3.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.3.1.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 2.3.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.3.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.4
Умножим на .
Этап 2.4
Упростим.
Этап 2.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.4.2
Объединим термины.
Этап 2.4.2.1
Умножим на .
Этап 2.4.2.2
Умножим на .
Этап 2.4.2.3
Перенесем .
Этап 2.4.2.4
Вычтем из .
Этап 2.4.3
Изменим порядок членов.
Этап 2.4.4
Изменим порядок множителей в .
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Этап 4.1
Найдем первую производную.
Этап 4.1.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.1.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.1.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.1.2.2
Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что имеет вид , где =.
Этап 4.1.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.1.3
Продифференцируем.
Этап 4.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.3.3
Умножим на .
Этап 4.1.4
Возведем в степень .
Этап 4.1.5
Возведем в степень .
Этап 4.1.6
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.1.7
Упростим выражение.
Этап 4.1.7.1
Добавим и .
Этап 4.1.7.2
Перенесем влево от .
Этап 4.1.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.9
Умножим на .
Этап 4.1.10
Упростим.
Этап 4.1.10.1
Изменим порядок членов.
Этап 4.1.10.2
Изменим порядок множителей в .
Этап 4.2
Первая производная по равна .
Этап 5
Этап 5.1
Пусть первая производная равна .
Этап 5.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.2
Умножим на .
Этап 5.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 5.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 5.4.1
Приравняем к .
Этап 5.4.2
Решим относительно .
Этап 5.4.2.1
Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.
Этап 5.4.2.2
Уравнение невозможно решить, так как выражение не определено.
Неопределенные
Этап 5.4.2.3
Нет решения для
Нет решения
Нет решения
Нет решения
Этап 5.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 5.5.1
Приравняем к .
Этап 5.5.2
Решим относительно .
Этап 5.5.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.5.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 5.5.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.5.2.2.2
Упростим левую часть.
Этап 5.5.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 5.5.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.5.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 5.5.2.2.3
Упростим правую часть.
Этап 5.5.2.2.3.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 5.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 5.5.2.4
Упростим .
Этап 5.5.2.4.1
Перепишем в виде .
Этап 5.5.2.4.2
Любой корень из равен .
Этап 5.5.2.4.3
Умножим на .
Этап 5.5.2.4.4
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 5.5.2.4.4.1
Умножим на .
Этап 5.5.2.4.4.2
Возведем в степень .
Этап 5.5.2.4.4.3
Возведем в степень .
Этап 5.5.2.4.4.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.5.2.4.4.5
Добавим и .
Этап 5.5.2.4.4.6
Перепишем в виде .
Этап 5.5.2.4.4.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 5.5.2.4.4.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.5.2.4.4.6.3
Объединим и .
Этап 5.5.2.4.4.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 5.5.2.4.4.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.5.2.4.4.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.5.2.4.4.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 5.5.2.5
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 5.5.2.5.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 5.5.2.5.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 5.5.2.5.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 5.6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 6
Этап 6.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 7
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 8
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 9
Этап 9.1
Упростим каждый член.
Этап 9.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 9.1.2
Упростим числитель.
Этап 9.1.2.1
Перепишем в виде .
Этап 9.1.2.2
Возведем в степень .
Этап 9.1.2.3
Перепишем в виде .
Этап 9.1.2.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.1.2.3.2
Перепишем в виде .
Этап 9.1.2.4
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 9.1.3
Возведем в степень .
Этап 9.1.4
Сократим общий множитель .
Этап 9.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.1.4.2
Сократим общий множитель.
Этап 9.1.4.3
Перепишем это выражение.
Этап 9.1.5
Сократим общий множитель .
Этап 9.1.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.1.5.2
Разделим на .
Этап 9.1.6
Применим правило умножения к .
Этап 9.1.7
Перепишем в виде .
Этап 9.1.7.1
С помощью запишем в виде .
Этап 9.1.7.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 9.1.7.3
Объединим и .
Этап 9.1.7.4
Сократим общий множитель .
Этап 9.1.7.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.1.7.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 9.1.7.5
Найдем экспоненту.
Этап 9.1.8
Возведем в степень .
Этап 9.1.9
Сократим общий множитель и .
Этап 9.1.9.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.1.9.2
Сократим общие множители.
Этап 9.1.9.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.1.9.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 9.1.9.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 9.1.10
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 9.1.11
Объединим и .
Этап 9.1.12
Сократим общий множитель .
Этап 9.1.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.1.12.2
Сократим общий множитель.
Этап 9.1.12.3
Перепишем это выражение.
Этап 9.1.13
Применим правило умножения к .
Этап 9.1.14
Перепишем в виде .
Этап 9.1.14.1
С помощью запишем в виде .
Этап 9.1.14.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 9.1.14.3
Объединим и .
Этап 9.1.14.4
Сократим общий множитель .
Этап 9.1.14.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.1.14.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 9.1.14.5
Найдем экспоненту.
Этап 9.1.15
Возведем в степень .
Этап 9.1.16
Сократим общий множитель и .
Этап 9.1.16.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.1.16.2
Сократим общие множители.
Этап 9.1.16.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.1.16.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 9.1.16.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 9.1.17
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 9.1.18
Умножим .
Этап 9.1.18.1
Объединим и .
Этап 9.1.18.2
Объединим и .
Этап 9.1.19
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 9.2
Упростим члены.
Этап 9.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 9.2.2
Вычтем из .
Этап 9.2.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10
— локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
— локальный максимум
Этап 11
Этап 11.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 11.2
Упростим результат.
Этап 11.2.1
Применим правило умножения к .
Этап 11.2.2
Перепишем в виде .
Этап 11.2.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 11.2.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 11.2.2.3
Объединим и .
Этап 11.2.2.4
Сократим общий множитель .
Этап 11.2.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 11.2.2.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 11.2.2.5
Найдем экспоненту.
Этап 11.2.3
Возведем в степень .
Этап 11.2.4
Сократим общий множитель и .
Этап 11.2.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 11.2.4.2
Сократим общие множители.
Этап 11.2.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 11.2.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 11.2.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 11.2.5
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 11.2.6
Объединим.
Этап 11.2.7
Умножим на .
Этап 11.2.8
Окончательный ответ: .
Этап 12
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 13
Этап 13.1
Упростим каждый член.
Этап 13.1.1
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 13.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 13.1.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 13.1.2
Возведем в степень .
Этап 13.1.3
Упростим числитель.
Этап 13.1.3.1
Перепишем в виде .
Этап 13.1.3.2
Возведем в степень .
Этап 13.1.3.3
Перепишем в виде .
Этап 13.1.3.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.1.3.3.2
Перепишем в виде .
Этап 13.1.3.4
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 13.1.4
Возведем в степень .
Этап 13.1.5
Сократим общий множитель .
Этап 13.1.5.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 13.1.5.2
Вынесем множитель из .
Этап 13.1.5.3
Сократим общий множитель.
Этап 13.1.5.4
Перепишем это выражение.
Этап 13.1.6
Сократим общий множитель и .
Этап 13.1.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.1.6.2
Сократим общие множители.
Этап 13.1.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.1.6.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 13.1.6.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 13.1.6.2.4
Разделим на .
Этап 13.1.7
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 13.1.7.1
Применим правило умножения к .
Этап 13.1.7.2
Применим правило умножения к .
Этап 13.1.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 13.1.8.1
Перенесем .
Этап 13.1.8.2
Умножим на .
Этап 13.1.8.2.1
Возведем в степень .
Этап 13.1.8.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 13.1.8.3
Добавим и .
Этап 13.1.9
Возведем в степень .
Этап 13.1.10
Перепишем в виде .
Этап 13.1.10.1
С помощью запишем в виде .
Этап 13.1.10.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 13.1.10.3
Объединим и .
Этап 13.1.10.4
Сократим общий множитель .
Этап 13.1.10.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 13.1.10.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 13.1.10.5
Найдем экспоненту.
Этап 13.1.11
Возведем в степень .
Этап 13.1.12
Сократим общий множитель и .
Этап 13.1.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.1.12.2
Сократим общие множители.
Этап 13.1.12.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.1.12.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 13.1.12.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 13.1.13
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 13.1.14
Объединим и .
Этап 13.1.15
Сократим общий множитель .
Этап 13.1.15.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 13.1.15.2
Вынесем множитель из .
Этап 13.1.15.3
Сократим общий множитель.
Этап 13.1.15.4
Перепишем это выражение.
Этап 13.1.16
Умножим на .
Этап 13.1.17
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 13.1.17.1
Применим правило умножения к .
Этап 13.1.17.2
Применим правило умножения к .
Этап 13.1.18
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 13.1.18.1
Перенесем .
Этап 13.1.18.2
Умножим на .
Этап 13.1.18.2.1
Возведем в степень .
Этап 13.1.18.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 13.1.18.3
Добавим и .
Этап 13.1.19
Возведем в степень .
Этап 13.1.20
Перепишем в виде .
Этап 13.1.20.1
С помощью запишем в виде .
Этап 13.1.20.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 13.1.20.3
Объединим и .
Этап 13.1.20.4
Сократим общий множитель .
Этап 13.1.20.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 13.1.20.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 13.1.20.5
Найдем экспоненту.
Этап 13.1.21
Возведем в степень .
Этап 13.1.22
Сократим общий множитель и .
Этап 13.1.22.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.1.22.2
Сократим общие множители.
Этап 13.1.22.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 13.1.22.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 13.1.22.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 13.1.23
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 13.1.24
Умножим .
Этап 13.1.24.1
Объединим и .
Этап 13.1.24.2
Объединим и .
Этап 13.2
Упростим члены.
Этап 13.2.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 13.2.2
Добавим и .
Этап 14
— локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.
— локальный минимум
Этап 15
Этап 15.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 15.2
Упростим результат.
Этап 15.2.1
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 15.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 15.2.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 15.2.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 15.2.2.1
Перенесем .
Этап 15.2.2.2
Умножим на .
Этап 15.2.2.2.1
Возведем в степень .
Этап 15.2.2.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 15.2.2.3
Добавим и .
Этап 15.2.3
Возведем в степень .
Этап 15.2.4
Перепишем в виде .
Этап 15.2.4.1
С помощью запишем в виде .
Этап 15.2.4.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 15.2.4.3
Объединим и .
Этап 15.2.4.4
Сократим общий множитель .
Этап 15.2.4.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 15.2.4.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 15.2.4.5
Найдем экспоненту.
Этап 15.2.5
Возведем в степень .
Этап 15.2.6
Сократим общий множитель и .
Этап 15.2.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.2.6.2
Сократим общие множители.
Этап 15.2.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.2.6.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 15.2.6.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 15.2.7
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 15.2.8
Умножим на .
Этап 15.2.9
Перенесем влево от .
Этап 15.2.10
Окончательный ответ: .
Этап 16
Это локальные экстремумы .
— локальный максимум
— локальный минимум
Этап 17