Математический анализ Примеры

$x y + x + y = x^{2} y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y + x + y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x y + x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y + 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y + 1 + y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Этап 3.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + y + 1 + y' = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x^{2} y y'$ из обеих частей уравнения.

$x y' + y + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y$

Этап 5.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x y' + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x y' + y' - 2 x^{2} y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Этап 5.3.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 x^{2} y y'$ .

$y' (x) + y' \cdot 1 + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Этап 5.3.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y)$ .

$y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ на $x + 1 - 2 x^{2} y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ на $x + 1 - 2 x^{2} y$ .

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x + 1 - 2 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Этап 5.4.3.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Этап 5.4.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$