Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(i - 1)}^{2}$ в виде $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

Этап 1.2

Развернем $(i - 1) (i - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $i$ на $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.3

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.4

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $i$ из $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $20$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2$ на $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $20$ и $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $10$ на $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Этап 3.3.2.4

Добавим $40$ и $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $210$ на $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Этап 3.3.3.2

Разделим $8610$ на $3$ .

$2870$

Этап 4

Найдем значение $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $20$ и $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $20$ на $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 420$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $420$ .

$- 420$

Этап 5

Найдем значение $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 5.2

Подставим значения в формулу.

$(1) (20)$

Этап 5.3

Умножим $20$ на $1$ .

$20$

Этап 6

Сложим результаты суммирования.

$2870 - 420 + 20$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $420$ из $2870$ .

$2450 + 20$

Этап 7.2

Добавим $2450$ и $20$ .

$2470$