Математический анализ Примеры

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(e^{t} + 1)}^{2}$ в виде $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

Этап 1.2

Развернем $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $e^{t}$ на $e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Этап 1.3.1.1.2

Добавим $t$ и $t$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Этап 1.3.1.2

Умножим $e^{t}$ на $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Этап 1.3.1.3

Умножим $e^{t}$ на $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Этап 1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

Этап 1.3.2

Добавим $e^{t}$ и $e^{t}$ .

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Этап 3

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Этап 4

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

Этап 8

Интеграл $e^{t}$ по $t$ имеет вид $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$