Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл t^2sin(2t) в пределах от 0 до 4pi по t
Этап 1
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Объединим и .
Этап 2.2
Объединим и .
Этап 3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Умножим на .
Этап 4.2
Объединим и .
Этап 4.3
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.2.4
Разделим на .
Этап 4.4
Умножим на .
Этап 4.5
Умножим на .
Этап 5
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Объединим и .
Этап 6.2
Объединим и .
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1.1
Дифференцируем .
Этап 8.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 8.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 8.1.4
Умножим на .
Этап 8.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 8.3
Умножим на .
Этап 8.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 8.5
Умножим на .
Этап 8.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 8.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 9
Объединим и .
Этап 10
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 11
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Умножим на .
Этап 11.2
Умножим на .
Этап 12
Интеграл по имеет вид .
Этап 13
Объединим и .
Этап 14
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Найдем значение в и в .
Этап 14.2
Найдем значение в и в .
Этап 14.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.2
Применим правило умножения к .
Этап 14.3.3
Возведем в степень .
Этап 14.3.4
Умножим на .
Этап 14.3.5
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.5.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.5.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 14.3.5.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 14.3.5.2.4
Разделим на .
Этап 14.3.6
Умножим на .
Этап 14.3.7
Умножим на .
Этап 14.3.8
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.8.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.8.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.8.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 14.3.8.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 14.3.8.2.4
Разделим на .
Этап 14.3.9
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 14.3.10
Умножим на .
Этап 14.3.11
Умножим на .
Этап 14.3.12
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.12.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.12.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.12.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 14.3.12.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 14.3.12.2.4
Разделим на .
Этап 14.3.13
Умножим на .
Этап 14.3.14
Умножим на .
Этап 14.3.15
Умножим на .
Этап 14.3.16
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.16.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.16.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.16.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.16.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 14.3.16.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 14.3.16.2.4
Разделим на .
Этап 14.3.17
Добавим и .
Этап 14.3.18
Умножим на .
Этап 14.3.19
Добавим и .
Этап 15
Точное значение : .
Этап 16
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.1
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 16.2
Точное значение : .
Этап 16.3
Умножим на .
Этап 16.4
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 16.5
Точное значение : .
Этап 16.6
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.6.1
Умножим на .
Этап 16.6.2
Умножим на .
Этап 16.7
Удалим число полных оборотов , чтобы угол оказался больше или равен и меньше .
Этап 16.8
Точное значение : .
Этап 16.9
Умножим на .
Этап 16.10
Добавим и .
Этап 16.11
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 16.11.1
Умножим на .
Этап 16.11.2
Умножим на .
Этап 16.12
Добавим и .
Этап 16.13
Добавим и .
Этап 17
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: