Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

Этап 1

Перепишем $\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ в виде $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{- 3}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

Этап 5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $2$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Этап 7.2

Умножим $\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ на $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

Этап 9.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

Этап 9.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

Этап 11.1.3

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ в $7$ и в $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Этап 11.2.2

Найдем значение $- \frac{1}{2 x^{2}}$ в $7$ и в $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Этап 11.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Этап 11.2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Этап 11.2.3.5

Возведем $7$ в степень $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Этап 11.2.3.6

Умножим $2$ на $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Этап 11.2.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

Этап 11.2.3.8

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

Этап 11.2.3.9

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

Этап 11.2.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $98$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

Этап 11.2.3.10.2

Умножим $2$ на $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

Этап 11.2.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

Этап 11.2.3.12

Добавим $- 1$ и $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

Этап 11.2.3.13

Сократим общий множитель $48$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $48$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

Этап 11.2.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Этап 11.2.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Этап 11.2.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

Этап 11.2.3.14

Перепишем $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ в виде произведения.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 11.2.3.15

Умножим $\frac{24}{49}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

Этап 11.2.3.16

Умножим $49$ на $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

Этап 11.2.3.17

Сократим общий множитель $24$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

Этап 11.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Этап 11.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Этап 11.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

Этап 12.1.2

Разделим $0$ на $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

Этап 12.2

Добавим $- \frac{\ln (7)}{98}$ и $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

Этап 12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

Этап 12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (7)}{98}$ в числитель.

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

Этап 12.4.2

Вынесем множитель $2$ из $98$ .

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

Этап 12.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

Этап 12.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

Этап 12.5

Умножим $2 (\frac{12}{49})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Объединим $2$ и $\frac{12}{49}$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

Этап 12.5.2

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Этап 12.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Десятичная форма:

$0.45008346 \dots$