Математический анализ Примеры

$\int \frac{5 x^{5} + 5 x^{2} + 10}{x^{3} - x} d x$

Этап 1

Разделим $5 x^{5} + 5 x^{2} + 10$ на $x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{5} + 0 - 5 x^{3} + 0$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} + 0 - 5 x + 0$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 5 x^{2} + 5 + \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Этап 7

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2} + 5 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 10}{x^{3} - x}$

Этап 7.1.1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (x) + 10}{x^{3} - x}$

Этап 7.1.1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Этап 7.1.1.1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (x^{2}) + 5 x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Этап 7.1.1.1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x^{3} - x}$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} - x}$

Этап 7.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Этап 7.1.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1)}$

Этап 7.1.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Этап 7.1.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Этап 7.1.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Этап 7.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 7.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Этап 7.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.6

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.7

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.7.2

Разделим $5 (x^{2} + x + 2)$ на $1$ .

$5 (x^{2} + x + 2) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.9

Умножим $5$ на $2$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.1.2

Разделим $A ((x + 1) (x - 1))$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.5

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.6

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.7

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.7.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.7.2

Разделим $(B) (x (x - 1))$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.8

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.9

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.10

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.11

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.12

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.14

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.10.14.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Этап 7.1.10.14.2

Разделим $(C) (x (x + 1))$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Этап 7.1.10.15

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Этап 7.1.10.16

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Этап 7.1.10.17

Умножим $x$ на $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Этап 7.1.10.18

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Этап 7.1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.11.1

Перенесем $B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Этап 7.1.11.2

Перенесем $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Этап 7.1.11.3

Перенесем $- x B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Этап 7.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = A + B + C$

Этап 7.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$10 = - 1 A$

Этап 7.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

Этап 7.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Решим относительно $A$ в $10 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = 10$ .

$- 1 A = 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = 10$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = 10$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.3.1

Разделим $10$ на $- 1$ .

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 10$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = A + B + C$ на $- 10$ .

$5 = (- 10) + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.3

Решим относительно $B$ в $5 = - 10 + B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 10 + B + C = 5$ .

$- 10 + B + C = 5$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$B + C = 5 + 10$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.3.2.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = 5 + 10 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.3.2.3

Добавим $5$ и $10$ .

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Этап 7.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $15 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $5 = - 1 B + C$ на $15 - C$ .

$5 = - 1 (15 - C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.2.1

Упростим $- 1 (15 - C) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 = - 1 \cdot 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $15$ .

$5 = - 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.4.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$5 = - 15 + 1 C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.4.2.1.1.3.2

Умножим $C$ на $1$ .

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.4.2.1.2

Добавим $C$ и $C$ .

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.5

Решим относительно $C$ в $5 = - 15 + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 15 + 2 C = 5$ .

$- 15 + 2 C = 5$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.5.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.2.1

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$2 C = 5 + 15$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.5.2.2

Добавим $5$ и $15$ .

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.5.3

Разделим каждый член $2 C = 20$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.3.1

Разделим каждый член $2 C = 20$ на $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.5.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.3.3.1

Разделим $20$ на $2$ .

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Этап 7.3.6

Заменим все вхождения $C$ на $10$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.1

Заменим все вхождения $C$ в $B = 15 - C$ на $10$ .

$B = 15 - (10)$

$C = 10$

$A = - 10$

Этап 7.3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.2.1

Упростим $15 - (10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$B = 15 - 10$

$C = 10$

$A = - 10$

Этап 7.3.6.2.1.2

Вычтем $10$ из $15$ .

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

Этап 7.3.7

Перечислим все решения.

$B = 5, C = 10, A = - 10$

Этап 7.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$

Этап 7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1} d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - \int \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Этап 10

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Этап 11

Умножим $10$ на $- 1$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Этап 13

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Этап 14

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 14.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 14.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 14.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 14.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 14.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Этап 15

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Этап 16

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 17

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 17.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 17.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 17.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 17.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 17.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 18

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 19

Упростим.

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| u_{1} |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 20

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 20.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 21

Изменим порядок членов.

$\frac{5}{3} x^{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$