Математический анализ Примеры

$\int (2 x - 1) \ln (7 x) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x \ln (7 x) - 1 \ln (7 x) d x$

Этап 1.2

Упростим $2 \ln (7 x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - 1 \ln (7 x) d x$

Этап 1.3

Перепишем $- 1 \ln (7 x)$ в виде $- \ln (7 x)$ .

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - \ln (7 x) d x$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим правило умножения к $7 x$ .

$\int x \ln (7^{2} x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Этап 1.4.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\int x \ln (49 x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x \ln (49 x^{2}) d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (49 x^{2})$ и $d v = x$ .

$\ln (49 x^{2}) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (49 x^{2}) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 4.2

Объединим $\ln (49 x^{2})$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 6.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot x^{2}}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 6.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 6.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 6.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 6.3.2.5

Разделим $2 x$ на $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int 2 x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 2 x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 8.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 8.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 8.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 8.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 8.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int \ln (7 x) d x$

Этап 12

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (7 x)$ и $d v = 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int d x)$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - (x + C))$

Этап 15

Упростим.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln (7 x) x + x + C$

Этап 16

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (49 x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (7 x) x + x + C$