Математический анализ Примеры

$\int \frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 x - 4} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ , а сумма — $b = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + 7 (x) - 4}$

Этап 1.1.1.1.2

Запишем $7$ как $- 1$ плюс $8$

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4}$

Этап 1.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x + 2}{2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{5 x + 2}{(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4}$

Этап 1.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{5 x + 2}{x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Этап 1.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$\frac{5 x + 2}{(2 x - 1) (x + 4)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x + 2) (2 x - 1) (x + 4)}{(2 x - 1) (x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x + 2) (x + 4)}{x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.6.2

Разделим $5 x + 2$ на $1$ .

$5 x + 2 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x + 2 = \frac{A (2 x - 1) (x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $(A) (x + 4)$ на $1$ .

$5 x + 2 = (A) (x + 4) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 2 = A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$5 x + 2 = A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.7.4

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$5 x + 2 = A x + 4 A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 4)}{x + 4}$

Этап 1.1.7.4.2

Разделим $(B) (2 x - 1)$ на $1$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + (B) (2 x - 1)$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 2 = A x + 4 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Этап 1.1.7.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Этап 1.1.7.7

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Этап 1.1.7.8

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 B x - B$

Этап 1.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Перенесем $B$ .

$5 x + 2 = A x + 4 A + 2 x B - B$

Этап 1.1.8.2

Перенесем $4 A$ .

$5 x + 2 = A x + 2 x B + 4 A - B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = A + 2 B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = 4 A - 1 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$5 = A + 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $5 = A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 B = 5$ .

$A + 2 B = 5$

$2 = 4 A - 1 B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 4 A - 1 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $5 - 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $2 = 4 A - 1 B$ на $5 - 2 B$ .

$2 = 4 (5 - 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $4 (5 - 2 B) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 = 4 \cdot 5 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $4$ на $5$ .

$2 = 20 + 4 (- 2 B) - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$2 = 20 - 8 B - 1 B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.2.2.1.1.4

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 8 B - B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.2.2.1.2

Вычтем $B$ из $- 8 B$ .

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

$2 = 20 - 9 B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $2 = 20 - 9 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $20 - 9 B = 2$ .

$20 - 9 B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$- 9 B = 2 - 20$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $20$ из $2$ .

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

$- 9 B = - 18$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $- 9 B = - 18$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 9 B = - 18$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{- 18}{- 9}$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Разделим $- 18$ на $- 9$ .

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 5 - 2 B$ на $2$ .

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $5 - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$A = 5 - 4$

$B = 2$

Этап 1.3.4.2.1.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = 2$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 4}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4}$

Этап 1.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{1}{2 x - 1} + \frac{2}{x + 4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = 2 x - 1$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = 2 x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Этап 4.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x + 4} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x + 4} d x$

Этап 8

Пусть $u_{2} = x + 4$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = x + 4$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 8.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + 2 \ln (| x + 4 |) + C$