Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл 8 интеграл x^3 квадратный корень из 1-x^2 в пределах от 0 до 1 по x
Этап 1
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Применим формулу Пифагора.
Этап 2.1.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.2.2
Возведем в степень .
Этап 2.2.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.4
Добавим и .
Этап 3
Вынесем за скобки.
Этап 4
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 5
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Дифференцируем .
Этап 5.1.2
Производная по равна .
Этап 5.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 5.3
Точное значение : .
Этап 5.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 5.5
Точное значение : .
Этап 5.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 5.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 6
Умножим .
Этап 7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Перепишем в виде .
Этап 7.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 7.2.2
Добавим и .
Этап 8
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 11
Объединим и .
Этап 12
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 13
Объединим и .
Этап 14
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Найдем значение в и в .
Этап 14.2
Найдем значение в и в .
Этап 14.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 14.3.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 14.3.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 14.3.2.2.4
Разделим на .
Этап 14.3.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 14.3.4
Вычтем из .
Этап 14.3.5
Умножим на .
Этап 14.3.6
Умножим на .
Этап 14.3.7
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 14.3.8
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.8.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.8.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.3.8.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 14.3.8.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 14.3.8.2.4
Разделим на .
Этап 14.3.9
Единица в любой степени равна единице.
Этап 14.3.10
Вычтем из .
Этап 14.3.11
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 14.3.12
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 14.3.13
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.3.13.1
Умножим на .
Этап 14.3.13.2
Умножим на .
Этап 14.3.13.3
Умножим на .
Этап 14.3.13.4
Умножим на .
Этап 14.3.14
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 14.3.15
Вычтем из .
Этап 14.3.16
Объединим и .
Этап 14.3.17
Умножим на .
Этап 15
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Форма смешанных чисел:
Этап 16