Математический анализ Примеры

$\int \frac{\ln (8 x)}{x} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \ln (8 x)$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \ln (8 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (8 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (8 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $8 x$ .

$\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{8 x}$ .

$\frac{8}{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (8 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (8 x) + C$