Математический анализ Примеры

$\int 9 z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Этап 1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

Этап 2

Пусть $u = 3 z^{2} - 7$ . Тогда $d u = 6 z d z$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = z d z$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 z^{2} - 7$ . Найдем $\frac{d u}{d z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 z^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2} - 7]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $3 z^{2} - 7$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $z$ , производная $3 z^{2}$ по $z$ равна $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 7]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 z + \frac{d}{d z} [- 7]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $z$ , производная $- 7$ относительно $z$ равна $0$ .

$6 z + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $6 z$ и $0$ .

$6 z$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{6} d u$

Этап 3

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{6} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $9$ .

$\frac{9}{6} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.5

Умножим $u^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $3 z^{2} - 7$ .

${(3 z^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$