Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{5} w^{2} \ln (w) d w$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (w)$ и $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Этап 2.2

Объединим $\ln (w)$ и $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $w^{3}$ и $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $w^{3}$ и $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $w$ из $w^{1}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Этап 4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Этап 4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Этап 4.2.2.5

Разделим $w^{2}$ на $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w$

Этап 5

По правилу степени интеграл $w^{2}$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ в $5$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{1}{3} w^{3}$ в $5$ и в $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{\ln (5) \cdot 125}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.2

Перенесем $125$ влево от $\ln (5)$ .

$\frac{125 \cdot \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.4

Умножим $\ln (1)$ на $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.5

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Этап 6.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Этап 6.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3})$

Этап 6.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{125 - 1}{3}$

Этап 6.3.10

Вычтем $1$ из $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{124}{3}$

Этап 6.3.11

Умножим $\frac{124}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{3 \cdot 3}$

Этап 6.3.12

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{9}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{125 \ln (5) - \ln (1)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{125 \ln (5) - 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{125 \ln (5) + 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Этап 7.3

Добавим $125 \ln (5)$ и $0$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Десятичная форма:

$53.28213524 \dots$