Математический анализ Примеры

$\int \ln (4 x + 1) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (4 x + 1)$ и $d v = 1$ .

$\ln (4 x + 1) x - \int x \frac{4}{4 x + 1} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x$ и $\frac{4}{4 x + 1}$ .

$\ln (4 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 4}{4 x + 1} d x$

Этап 2.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - \int \frac{4 x}{4 x + 1} d x$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\ln (4 x + 1) x - (4 \int \frac{x}{4 x + 1} d x)$

Этап 4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 \int \frac{x}{4 x + 1} d x$

Этап 5

Разделим $x$ на $4 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 x$

$1$

$x$

$0$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{4}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + \frac{1}{4}$ .

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{4}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{4}$
					-	$\frac{1}{4}$

Этап 5.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\ln (4 x + 1) x - 4 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\int \frac{1}{4} d x + \int - \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x)$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \int - \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x + C - \int \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x)$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x + C - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{4 x + 1} d x))$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 x + 1} d x)$

Этап 11

Пусть $u = 4 x + 1$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u = 4 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 11.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 11.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u)$

Этап 12.2

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u} d u)$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 14.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 15

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C))$

Этап 16

Упростим.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{16} \ln (| u |)) + C$

Этап 17

Заменим все вхождения $u$ на $4 x + 1$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{16} \ln (| 4 x + 1 |)) + C$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{16} \ln (| 4 x + 1 |)) + C$

Этап 18.1.2

Объединим $\ln (| 4 x + 1 |)$ и $\frac{1}{16}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Этап 18.2

Чтобы записать $\frac{x}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Этап 18.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Умножим $\frac{x}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Этап 18.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{16} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Этап 18.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (4 x + 1) x - 4 \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{16} + C$

Этап 18.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\ln (4 x + 1) x + 4 (- 1) \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{16} + C$

Этап 18.5.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\ln (4 x + 1) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{4 \cdot 4} + C$

Этап 18.5.3

Сократим общий множитель.

$\ln (4 x + 1) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{4 \cdot 4} + C$

Этап 18.5.4

Перепишем это выражение.

$\ln (4 x + 1) x - \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{4} + C$

Этап 18.6

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - \frac{4 x - \ln (| 4 x + 1 |)}{4} + C$

Этап 19

Изменим порядок членов.

$\ln (4 x + 1) x - \frac{1}{4} (4 x - \ln (| 4 x + 1 |)) + C$