Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} x^{2} + \sqrt{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ и $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.6

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.7.2

Перепишем это выражение.

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.9

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.10

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2.11

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 5.2.2.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.12.1

Сократим общий множитель.

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 5.2.2.12.2

Перепишем это выражение.

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 5.2.2.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Этап 5.2.2.14

Умножим $\frac{2}{3}$ на $0$ .

$1 - (0 + 0)$

Этап 5.2.2.15

Добавим $0$ и $0$ .

$1 - 0$

Этап 5.2.2.16

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.2.2.17

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6