Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до квадратного корня из 3 от (4x)/( квадратный корень из x^2+1) по x
Этап 1
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 2
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Дифференцируем .
Этап 2.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.1.5
Добавим и .
Этап 2.2
Подставим нижнее предельное значение вместо в .
Этап 2.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 2.3.2
Добавим и .
Этап 2.4
Подставим верхнее предельное значение вместо в .
Этап 2.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 2.5.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.5.1.3
Объединим и .
Этап 2.5.1.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.5.1.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.5.1.5
Найдем экспоненту.
Этап 2.5.2
Добавим и .
Этап 2.6
Значения, найденные для и , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.
Этап 2.7
Переформулируем задачу, используя , и новые пределы интегрирования.
Этап 3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Умножим на .
Этап 3.2
Перенесем влево от .
Этап 4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 5
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Объединим и .
Этап 5.1.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.1.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.1.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.1.2.2.4
Разделим на .
Этап 5.2
Применим основные правила для показателей степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 5.2.2
Вынесем из знаменателя, возведя в степень.
Этап 5.2.3
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.2.3.2
Объединим и .
Этап 5.2.3.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 6
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 7
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Найдем значение в и в .
Этап 7.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Перепишем в виде .
Этап 7.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 7.2.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.4
Найдем экспоненту.
Этап 7.2.5
Умножим на .
Этап 7.2.6
Единица в любой степени равна единице.
Этап 7.2.7
Умножим на .
Этап 7.2.8
Вычтем из .
Этап 7.2.9
Умножим на .
Этап 8