Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

Этап 1

Пусть $u = y + 9$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = y + 9$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $y + 9$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 1.1.4

Поскольку $9$ является константой относительно $y$ , производная $9$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 9$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $9$ .

$u_{lower} = 9$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 7 + 9$

Этап 1.5

Добавим $7$ и $9$ .

$u_{upper} = 16$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $16$ и в $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.6

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 4.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 4.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Этап 4.2.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

Этап 4.2.11

Умножим $27$ на $- 1$ .

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

Этап 4.2.12

Объединим $- 27$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

Этап 4.2.13

Умножим $- 27$ на $2$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

Этап 4.2.14

Сократим общий множитель $- 54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.14.1

Вынесем множитель $3$ из $- 54$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

Этап 4.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

Этап 4.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

Этап 4.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

Этап 4.2.14.2.4

Разделим $- 18$ на $1$ .

$\frac{128}{3} - 18$

Этап 4.2.15

Чтобы записать $- 18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.2.16

Объединим $- 18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.18.1

Умножим $- 18$ на $3$ .

$\frac{128 - 54}{3}$

Этап 4.2.18.2

Вычтем $54$ из $128$ .

$\frac{74}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{74}{3}$

Десятичная форма:

$24.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$24 \frac{2}{3}$

Этап 6