Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{8} \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{8} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{8} x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{8} x^{- 3} d x$

Этап 2

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{8}$

Этап 3

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ в $8$ и в $1$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 8^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Этап 3.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{64} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Этап 3.2.3

Умножим $\frac{1}{64}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{64 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Этап 3.2.4

Умножим $64$ на $2$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Этап 3.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.2.6

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2}$

Этап 3.2.7

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{64}$

Этап 3.2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $128$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{64}{2 \cdot 64}$

Этап 3.2.8.2

Умножим $2$ на $64$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{64}{128}$

Этап 3.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 64}{128}$

Этап 3.2.10

Добавим $- 1$ и $64$ .

$\frac{63}{128}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{63}{128}$

Десятичная форма:

$0.4921875$

Этап 5