Математический анализ Примеры

$\int x \sqrt[3]{6 x + 7} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sqrt[3]{6 x + 7}$ .

$x (\frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - (\frac{1}{8} \int {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Этап 4

Пусть $u = 6 x + 7$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 6 x + 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $6 x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 7]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $6 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int u^{\frac{4}{3}} \frac{1}{6} d u$

Этап 5

Объединим $u^{\frac{4}{3}}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{6} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{6} \int u^{\frac{4}{3}} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{6 \cdot 8} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Этап 7.2

Умножим $6$ на $8$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{4}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ в виде $\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ .

$\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x$ .

$\frac{x}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $\frac{x}{8}$ и ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{3}{7}$ на $\frac{1}{48}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{7 \cdot 48} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9.2.4

Умножим $7$ на $48$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9.2.5

Сократим общий множитель $3$ и $336$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 (1)}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $336$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Этап 9.2.6

Чтобы записать $- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{8}{8} + C$

Этап 9.2.7

Объединим $- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

Этап 9.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

Этап 9.2.9

Объединим $u^{\frac{7}{3}}$ и $\frac{1}{112}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112} \cdot 8}{8} + C$

Этап 9.2.10

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

Этап 9.2.11

Объединим $- 8$ и $\frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

Этап 9.2.12

Вынесем множитель $8$ из $- 8 u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{112}}{8} + C$

Этап 9.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.13.1

Вынесем множитель $8$ из $112$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 (14)}}{8} + C$

Этап 9.2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 \cdot 14}}{8} + C$

Этап 9.2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Этап 9.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Этап 9.2.15

Чтобы записать $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{14}{14}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Этап 9.2.16

Объединим $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ и $\frac{14}{14}$ .

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Этап 9.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14 - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Этап 9.2.18

Перенесем $14$ влево от $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\frac{14 \cdot (x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Этап 9.2.19

Перепишем $\frac{\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8}$ в виде произведения.

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14} \cdot \frac{1}{8} + C$

Этап 9.2.20

Умножим $\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14 \cdot 8} + C$

Этап 9.2.21

Умножим $14$ на $8$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 7$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{112} (14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}) + C$