Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{5 x^{2} + 5}{9 x - 2}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{5 x^{2} + 5}{9 x - 2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 5 x^{2} + 5}{lim_{x \to 2} 9 x - 2}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 5 x^{2} + lim_{x \to 2} 5}{lim_{x \to 2} 9 x - 2}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{5 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}{lim_{x \to 2} 9 x - 2}}$

Этап 5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt{\frac{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}{lim_{x \to 2} 9 x - 2}}$

Этап 6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}{lim_{x \to 2} 9 x - 2}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}{lim_{x \to 2} 9 x - lim_{x \to 2} 2}}$

Этап 8

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt{\frac{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}{9 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}}$

Этап 9

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\sqrt{\frac{5 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}{9 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{2} + 5}{9 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 2^{2} + 5}{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 4 + 5}{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Этап 11.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{20 + 5}{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Этап 11.3

Добавим $20$ и $5$ .

$\sqrt{\frac{25}{9 \cdot 2 - 1 \cdot 2}}$

Этап 11.4

Умножим $9$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{18 - 1 \cdot 2}}$

Этап 11.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{18 - 2}}$

Этап 11.6

Вычтем $2$ из $18$ .

$\sqrt{\frac{25}{16}}$

Этап 11.7

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$

Этап 11.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{16}}$

Этап 11.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{\sqrt{16}}$

Этап 11.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{5}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 11.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{4}$

Десятичная форма:

$1.25$