Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 2 x$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x + 2$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 2$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 x = - 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 2$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Разделим $- 2$ на $2$ .

$x = - 1$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{2} + 2 x$ в точке $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 (- 1)$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Этап 4.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = x^{2} + 2 x$ : $y = - 1$ .

$y = - 1$

Этап 6