Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.9

Объединим $3$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.10

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.12

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.13.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.2.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} x$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$

Этап 2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ умножим на $x^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Разделим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{2}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $2$ на $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

Этап 2.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Этап 2.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 1^{3}$

Этап 2.5.4.1.1.2

Упростим.

$x = 1^{3}$

Этап 2.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 2$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}} - 2$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Упростим.

$x = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$3 {(1)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 2 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 - 2$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(1, 1), (0, 0)$

Этап 5