Математический анализ Примеры

$\int_{4}^{5} \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Этап 1

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} - 9$ на $x^{3} - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{3}$ .

									$1$
	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 0$ .

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
													-	$9$

Этап 1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{4}^{5} 1 - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{4}^{5} d x + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$x]_{4}^{5} - (9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x)$

Этап 6

Умножим $9$ на $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Этап 7

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2} x - 3 x^{2}}$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 3}$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x^{2} (x - 3)}$

Этап 7.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$

Этап 7.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.5

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.1.2

Разделим $A (x - 3)$ на $1$ .

$1 = A (x - 3) + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 3 + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.3

Перенесем $- 3$ влево от $A$ .

$1 = A x - 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $B (x^{2} (x - 3))$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.4.2.3

Сократим общий множитель.

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.4.2.4

Перепишем это выражение.

$1 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.4.2.5

Разделим $B (x (x - 3))$ на $1$ .

$1 = A x - 3 A + B (x (x - 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.6

Умножим $x$ на $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.7

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.8

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.10

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.10.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Этап 7.1.6.10.2

Разделим $(C) (x^{2})$ на $1$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2}$

Этап 7.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.7.1

Перенесем $B$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2}$

Этап 7.1.7.2

Перенесем $- 3 A$ .

$1 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 3 A$

Этап 7.1.7.3

Перенесем $- 3 x B$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B - 3 A$

Этап 7.1.7.4

Перенесем $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 3 x B - 3 A$

Этап 7.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + C$

Этап 7.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A - 3 B$

Этап 7.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 3 A$

Этап 7.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

Этап 7.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 3 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Этап 7.3.1.2

Разделим каждый член $- 3 A = 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 3 A = 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Этап 7.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Этап 7.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Этап 7.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Этап 7.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- \frac{1}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A - 3 B$ на $- \frac{1}{3}$ .

$0 = (- \frac{1}{3}) - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{3} - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{3} - 3 B = 0$ .

$- \frac{1}{3} - 3 B = 0$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.3.2

Добавим $\frac{1}{3}$ к обеим частям уравнения.

$- 3 B = \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.3.3

Разделим каждый член $- 3 B = \frac{1}{3}$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 3 B = \frac{1}{3}$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$B = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{3})$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.3.3.3.3

Умножим $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.3.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$B = - \frac{1}{3 \cdot 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.3.3.3.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Этап 7.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{1}{9}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = B + C$ на $- \frac{1}{9}$ .

$0 = (- \frac{1}{9}) + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Этап 7.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Этап 7.3.5

Решим относительно $C$ в $0 = - \frac{1}{9} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{9} + C = 0$ .

$- \frac{1}{9} + C = 0$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Этап 7.3.5.2

Добавим $\frac{1}{9}$ к обеим частям уравнения.

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Этап 7.3.6

Решим систему уравнений.

$C = \frac{1}{9} B = - \frac{1}{9} A = - \frac{1}{3}$

Этап 7.3.7

Перечислим все решения.

$C = \frac{1}{9}, B = - \frac{1}{9}, A = - \frac{1}{3}$

Этап 7.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{x^{2}} - \frac{\frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Этап 7.5.2

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 3} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Этап 7.5.3

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Этап 7.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Этап 7.5.5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{x \cdot 9} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Этап 7.5.6

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Этап 7.5.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Этап 7.5.8

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1}{x - 3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9 (x - 3)} d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x]_{4}^{5} - 9 (\int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \int_{4}^{5} \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$x]_{4}^{5} - 9 (- (\frac{1}{3} \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 11

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 11.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 11.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{- 2} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} - x^{- 1}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 13

Объединим $- x^{- 1}]_{4}^{5}$ и $\frac{1}{3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 14

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \int_{4}^{5} \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 15

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - (\frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x} d x) + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 16

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{1}{9} \ln (| x |)]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 17

Объединим $\ln (| x |)]_{4}^{5}$ и $\frac{1}{9}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Этап 18

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

Этап 19

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 19.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 19.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 19.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 19.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 19.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Этап 19.3

Вычтем $3$ из $4$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 19.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 5 - 3$

Этап 19.5

Вычтем $3$ из $5$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 19.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 19.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Этап 20

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \ln (| u |)]_{1}^{2})$

Этап 21

Объединим $\frac{1}{9}$ и $\ln (| u |)]_{1}^{2}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Этап 22

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Найдем значение $x$ в $5$ и в $4$ .

$(5) - 4 - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Этап 22.2

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $5$ и в $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Этап 22.3

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $5$ и в $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Этап 22.4

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $2$ и в $1$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.1

Вычтем $4$ из $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.4

Чтобы записать $- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.5

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.6.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.6.2

Умножим $5$ на $4$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.6.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.6.4

Умножим $4$ на $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - 9 (- \frac{\frac{- 4 + 5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.8

Добавим $- 4$ и $5$ .

$1 - 9 (- \frac{\frac{1}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.9

Перепишем $\frac{\frac{1}{20}}{3}$ в виде произведения.

$1 - 9 (- (\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{3}) - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.10

Умножим $\frac{1}{20}$ на $\frac{1}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{20 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.11

Умножим $20$ на $3$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.12

Чтобы записать $- \frac{1}{60}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.13

Чтобы записать $- \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.14

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $180$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.14.1

Умножим $\frac{1}{60}$ на $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{60 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.14.2

Умножим $60$ на $3$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.14.3

Умножим $\frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ на $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.14.4

Умножим $9$ на $20$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - 9 (\frac{- 3 - (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.16

Умножим $20$ на $- 1$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Этап 22.5.17

Чтобы записать $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9} \cdot \frac{20}{20})$

Этап 22.5.18

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $180$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.18.1

Умножим $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ на $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20})$

Этап 22.5.18.2

Умножим $9$ на $20$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180})$

Этап 22.5.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180}$

Этап 22.5.20

Перенесем $20$ влево от $\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$ .

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 \cdot (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$

Этап 22.5.21

Объединим $- 9$ и $\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$ .

$1 + \frac{- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{180}$

Этап 22.5.22

Сократим общий множитель $- 9$ и $180$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.22.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ .

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{180}$

Этап 22.5.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.5.22.2.1

Вынесем множитель $9$ из $180$ .

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 (20)}$

Этап 22.5.22.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 \cdot 20}$

Этап 22.5.22.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{20}$

Этап 22.5.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Этап 23.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Этап 23.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{20}{20} - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Этап 23.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Этап 24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Этап 24.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Этап 24.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{| 1 |}))}{20}$

Этап 24.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{1}))}{20}$

Этап 24.5

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (2))}{20}$

Этап 24.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 - - 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Этап 24.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.7.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{20 + 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Этап 24.7.2

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - (20 \ln (2))}{20}$

Этап 24.7.3

Умножим $20$ на $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Этап 24.8

Добавим $20$ и $3$ .

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Этап 25

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Десятичная форма:

$0.67999637 \dots$

Этап 26