Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 4 x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 4 x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 4 x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4^{2} - 4 lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{4^{2} - 4 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16 - 4 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{0}{16 - 3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.6.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.6.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 4}$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $12$ из $16$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.6.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} - 3 x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Этап 1.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 2 x - 4}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Этап 2.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 3}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 3}$

Этап 2.7

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8 - 4}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Этап 4.1.3

Вычтем $4$ из $8$ .

$\frac{4}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{4}{8 - 1 \cdot 3}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{8 - 3}$

Этап 4.2.3

Вычтем $3$ из $8$ .

$\frac{4}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{5}$

Десятичная форма:

$0.8$