Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $x^{2} + 9$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $- x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.2.7

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) (2 (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (2 x + \frac{d}{d x} (9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.4.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (2 x))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) (2 \cdot ((x^{2} + 9) x))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) ((x^{2} + 9) x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 9)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} + 9)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.3

Развернем $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.2

Перенесем $9$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.3

Умножим $9$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.2

Добавим $9 x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (18 x^{2}) - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.6.1

Умножим $18$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 36 x^{2} - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.6.2

Умножим $- 2$ на $81$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 36 x^{2} - 162) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{1 + 2} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{2 + 1} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.11

Развернем $(4 x^{2} - 36) (x^{3} + 9 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} (x^{3} + 9 x) - 36 (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (9 x) - 36 (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 x^{2} x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 (x \cdot x^{2})) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 (x \cdot x^{2})) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 x^{1 + 2}) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 x^{3}) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.4

Умножим $4$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 36 x^{3} - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.5

Умножим $9$ на $- 36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 36 x^{3} - 36 x^{3} - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.2

Вычтем $36 x^{3}$ из $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 0 - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.3

Добавим $4 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.2

Добавим $- 2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.3

Вычтем $324 x$ из $- 162 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} - 36 x^{3} - 486 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 18 x^{2}) - 486 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 486 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (- 18 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4} - 18 x^{2}) + 2 x (- 243)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 18 u - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.4

Разложим $u^{2} - 18 u - 243$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 243$ , а сумма — $- 18$ .

$- 27, 9$

Этап 2.5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 27) (u + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 27) (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 9$ и ${(x^{2} + 9)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $2 x (x^{2} - 27) (x^{2} + 9)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x (x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

Этап 2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из ${(x^{2} + 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x (x^{2} - 27))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x (x^{2} - 27))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $x^{2} + 9$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$- x^{2} + 9 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 9$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 9$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 9$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $- 9$ на $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Этап 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 5.3.4

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 5.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 5.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 5.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3, - 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 (3) ({(3)}^{2} - 27)}{{({(3)}^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 (3^{2} - 27)}{{(3^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{6 (3^{2} - 27)}{{(9 + 9)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Добавим $9$ и $9$ .

$\frac{6 (3^{2} - 27)}{18^{3}}$

Этап 9.2.3

Возведем $18$ в степень $3$ .

$\frac{6 (3^{2} - 27)}{5832}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{6 (9 - 27)}{5832}$

Этап 9.3.2

Вычтем $27$ из $9$ .

$\frac{6 \cdot - 18}{5832}$

Этап 9.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $6$ на $- 18$ .

$\frac{- 108}{5832}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель $- 108$ и $5832$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $108$ из $- 108$ .

$\frac{108 (- 1)}{5832}$

Этап 9.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Вынесем множитель $108$ из $5832$ .

$\frac{108 \cdot - 1}{108 \cdot 54}$

Этап 9.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{108 \cdot - 1}{108 \cdot 54}$

Этап 9.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{54}$

Этап 9.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{54}$

Этап 10

$x = 3$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{3}{{(3)}^{2} + 9}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = \frac{3}{9 + 9}$

Этап 11.2.1.2

Добавим $9$ и $9$ .

$f (3) = \frac{3}{18}$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель $3$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (3) = \frac{3 (1)}{18}$

Этап 11.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Этап 11.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Этап 11.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = \frac{1}{6}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $\frac{1}{6}$ .

$y = \frac{1}{6}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 (- 3) ({(- 3)}^{2} - 27)}{{({(- 3)}^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{{({(- 3)}^{2} + 9)}^{3}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{{(9 + 9)}^{3}}$

Этап 13.2.2

Добавим $9$ и $9$ .

$\frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{18^{3}}$

Этап 13.2.3

Возведем $18$ в степень $3$ .

$\frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{5832}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{- 6 (9 - 27)}{5832}$

Этап 13.3.2

Вычтем $27$ из $9$ .

$\frac{- 6 \cdot - 18}{5832}$

Этап 13.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $- 6$ на $- 18$ .

$\frac{108}{5832}$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $108$ и $5832$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $108$ из $108$ .

$\frac{108 (1)}{5832}$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $108$ из $5832$ .

$\frac{108 \cdot 1}{108 \cdot 54}$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{108 \cdot 1}{108 \cdot 54}$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{54}$

Этап 14

$x = - 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 3$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{9 + 9}$

Этап 15.2.1.2

Добавим $9$ и $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{18}$

Этап 15.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1)}{18}$

Этап 15.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Этап 15.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Этап 15.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 3) = \frac{- 1}{6}$

Этап 15.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 3) = - \frac{1}{6}$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ .

$(3, \frac{1}{6})$ — локальный максимум

$(- 3, - \frac{1}{6})$ — локальный минимум

Этап 17