Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x \cdot 3$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{3 x} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 - x}{3 x}}{x - 3}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{3 - x}{3 x}$ на $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x (x - 3)}$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $3 - x$ и $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - x}{3 x (x - 3)}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - (x)}{3 x (x - 3)}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 3) - (x)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3 + x)}{3 x (x - 3)}$

Этап 2.1.3.4

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Этап 2.1.3.5

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Этап 2.1.3.6

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1}{3 x}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 1}{x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 3} - 1}{lim_{x \to 3} x}$

Этап 2.4

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 3} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{1}$