Математический анализ Примеры

Найти площадь между кривыми y=x , y = корень шестой степени из x
,
Этап 1
Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Исключим равные части каждого уравнения и объединим.
Этап 1.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.
Этап 1.2.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.2.3
Разложим на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.2.3.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.3.2.1
Умножим на .
Этап 1.2.3.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.4
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 1.2.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.1
Приравняем к .
Этап 1.2.5.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.2.1
Возведем обе части уравнения в степень , чтобы исключить дробный показатель в левой части.
Этап 1.2.5.2.2
Упростим показатель степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.2.2.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.2.2.1.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.2.2.1.1.1
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.2.2.1.1.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.2.5.2.2.1.1.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.5.2.2.1.1.2
Упростим.
Этап 1.2.5.2.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.5.2.2.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 1.2.6
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.1
Приравняем к .
Этап 1.2.6.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.2.6.2.2
Возведем обе части уравнения в степень , чтобы исключить дробный показатель в левой части.
Этап 1.2.6.2.3
Упростим показатель степени.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.1.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.1.1.1
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.1.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 1.2.6.2.3.1.1.1.2
Перепишем в виде .
Этап 1.2.6.2.3.1.1.1.3
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.2.6.2.3.1.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.6.2.3.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.1
Возведем в степень .
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.2
Умножим на .
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.3
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.6.2.3.1.1.4
Упростим.
Этап 1.2.6.2.3.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.2.1.1
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.2.1.1.1
Перепишем в виде .
Этап 1.2.6.2.3.2.1.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 1.2.6.2.3.2.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.6.2.3.2.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 1.2.6.2.3.2.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 1.2.6.2.3.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 1.2.7
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 1.3
Вычислим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Подставим вместо .
Этап 1.3.2
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.3.2.2
Перепишем в виде .
Этап 1.3.2.3
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 1.4
Вычислим , когда .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Подставим вместо .
Этап 1.4.2
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.1
Избавимся от скобок.
Этап 1.4.2.2
Любой корень из равен .
Этап 1.5
Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.
Этап 2
Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.
Этап 3
Проинтегрируем, чтобы найти площадь между и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Объединим интегралы в один интеграл.
Этап 3.2
Умножим на .
Этап 3.3
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 3.4
С помощью запишем в виде .
Этап 3.5
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 3.6
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 3.7
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 3.8
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.1
Объединим и .
Этап 3.8.2
Подставим и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.2.1
Найдем значение в и в .
Этап 3.8.2.2
Найдем значение в и в .
Этап 3.8.2.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.2.3.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 3.8.2.3.2
Умножим на .
Этап 3.8.2.3.3
Перепишем в виде .
Этап 3.8.2.3.4
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.8.2.3.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.2.3.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.8.2.3.5.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.8.2.3.6
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 3.8.2.3.7
Умножим на .
Этап 3.8.2.3.8
Умножим на .
Этап 3.8.2.3.9
Добавим и .
Этап 3.8.2.3.10
Единица в любой степени равна единице.
Этап 3.8.2.3.11
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 3.8.2.3.12
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.2.3.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.8.2.3.12.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.2.3.12.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.8.2.3.12.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.8.2.3.12.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.8.2.3.12.2.4
Разделим на .
Этап 3.8.2.3.13
Умножим на .
Этап 3.8.2.3.14
Добавим и .
Этап 3.8.2.3.15
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.8.2.3.16
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.8.2.3.17
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.2.3.17.1
Умножим на .
Этап 3.8.2.3.17.2
Умножим на .
Этап 3.8.2.3.17.3
Умножим на .
Этап 3.8.2.3.17.4
Умножим на .
Этап 3.8.2.3.18
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.8.2.3.19
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.8.2.3.19.1
Умножим на .
Этап 3.8.2.3.19.2
Вычтем из .
Этап 4