Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{4} - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + 2 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 2 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.2.6.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{4} - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{4} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{4} - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{4} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{4 x^{3} + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 2}{4 x^{3}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2 x + 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x) + 2}{4 x^{3}}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x) + 2 (1)}{4 x^{3}}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x + 1)}{4 x^{3}}$

Этап 1.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x + 1)}{2 (2 x^{3})}$

Этап 1.4.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (x + 1)}{2 (2 x^{3})}$

Этап 1.4.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{2 x^{3}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to - 1} \frac{x + 1}{x^{3}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Этап 2.5

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} x + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 1}{{(- 1)}^{3}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(- 1)}^{3}}$

Этап 4.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{- 1}$

Этап 4.3

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Этап 4.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0$